Fils du metteur en scène Roger Cornillac et de l’actrice Myriam Boyer, il est le demi-frère du metteur en scène Arny Berry et le frère d’Élisa Cornillac, administratrice de théâtre{{,}}{{,}}. Dès l'âge de quatorze ans, il quitte la maison familiale pour apprendre le théâtre. Il commence par faire du théâtre de rue, énormément de théâtre subventionné et fait des « castings ».
De 1994 à 2010 Clovis est marié avec Caroline Proust. Les jumelles Lily et Alice naissent en 2001.
Depuis 2009, il est en couple avec la comédienne Lilou Fogli qu'il épouse le 30 août 2013. Ils ont un enfant, Nino, né le {{date}}.