Sa mère, islandaise, rencontre son père à Paris ; il est né à Vienne, a fui le nazisme, s'est engagé dans l'Armée américaine, puis a débarqué en Normandie et a étudié à Paris. Les Anspach s'y établissent, après un séjour à New York, ayant quitté les États-Unis devant la menace du maccarthysme. Leur fille Sólveig, née en Islande en 1960, est diplômée de la Fondation européenne pour les métiers de l'image et du son (FEMIS) à Paris en 1990, section réalisation {{incise}}.
Elle s'installe dans les années 1990 en Seine-Saint-Denis, à la limite entre Montreuil et Bagnolet.
En 2001, elle obtient le prix François-Chalais pour Made in the USA, un documentaire sur la peine de mort aux États-Unis, sélectionné pour la Quinzaine des réalisateurs à Cannes{{,}}. D'après les Inrocks, elle fait pour ce documentaire {{citation}} un vrai travail de cinéaste.
Stormy Weather est dans la sélection Un certain regard du Festival de Cannes 2003. Avec ce film, Sólveig Anspach offre deux « rôles bouleversants » à Élodie Bouchez et Didda Jónsdóttir. Avec cette dernière, c'est le début d'une collaboration, poursuivie ensuite avec Skrapp út (2007), Queen of Montreuil (2012) et L'Effet aquatique (2015). Ces trois films constituent sa « trilogie fauchée ».
En 2008, elle tourne pour France 2 le téléfilm Louise Michel, avec Sylvie Testud dans le rôle-titre.
Avec Lulu femme nue, en 2013, Sólveig Anspach retrouve Karin Viard (l'actrice principale de son premier film Haut les cœurs !) et lui offre un « lâcher-prise émouvant ». Ces retrouvailles illustrent la fidélité des acteurs envers cette réalisatrice, comme les quatre collaborations avec Didda Jónsdóttir et celles avec Ingvar E. Sigurðsson (Stormy Weather, Skrapp út et L'effet aquatique), Julien Cottereau (Haut les cœurs ! et Skrapp út), Samir Guesmi (Queen of Montreuil et L'Effet aquatique) et Florence Loiret-Caille (Queen of Montreuil et L'Effet aquatique).
Elle meurt le {{Date de décès}} dans la Drôme, des suites d'une récidive de cancer, celui-là même qu'elle avait abordé dans son principal succès et film autobiographique Haut les cœurs !.